[CSP-J 2021] 插入排序

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插入排序是一种非常常见且简单的排序算法。小 Z 是一名大一的新生，今天 H 老师刚刚在上课的时候讲了插入排序算法。

假设比较两个元素的时间为 O(1)，则插入排序可以以 O(n^2) 的时间复杂度完成长度为 n 的数组的排序。
不妨假设这 n 个数字分别存储在 a_1,a_2,...,a_n 之中，则如下伪代码给出了插入排序算法的一种最简单的实现方式：

for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = i; j >= 2; j--)
        if (a[j] < a[j-1]) {int t = a[j-1];
            a[j-1] = a[j];
            a[j] = t;
        }

为了帮助小 Z 更好的理解插入排序，小 Z 的老师 H 老师留下了这么一道家庭作业：

H 老师给了一个长度为 n 的数组 a，数组下标从 1 开始，并且数组中的所有元素均为非负整数。小 Z 需要支持在数组 a 上的 Q 次操作，操作共两种，参数分别如下：

• 1 x v：这是第一种操作，会将 a 的第 x 个元素，也就是 a_x 的值，修改为 v。
  保证 1 \le x \le n, 1 \le v \le 10^9。注意这种操作会改变数组的元素，修改得到的数组会被保留，也会影响后续的操作。

• 2 x：这是第二种操作，假设 H 老师按照上面的伪代码对 a 数组进行排序，你需要告诉 H 老师原来 a 的第 x 个元素，
  也就是 a_x，在排序后的新数组所处的位置。保证 1 \le x \le n。注意这种操作不会改变数组的元素，排序后的数组不会被保留，也不会影响后续的操作。

H 老师不喜欢过多的修改，所以他保证类型 1 的操作次数不超过 5000。

小 Z 没有学过计算机竞赛，因此小 Z 并不会做这道题。他找到了你来帮助他解决这个问题。

输入描述

第一行，包含两个正整数 n,Q，表示数组长度和操作次数。

第二行，包含 n 个空格分隔的非负整数，其中第 i 个非负整数表示 a_i

接下来 Q 行，每行 2∼3 个正整数，表示一次操作，操作格式见【题目描述】。

输出描述

对于每一次类型为 2 的询问，输出一行一个正整数表示答案。

样例输入 1

3 4
3 2 1
2 3
1 3 2
2 2
2 3

样例输出 1

1
1
2

提示

数据范围

对于所有测试数据，满足
1 \le n \le 8000, 1 \le Q \le 2 \times 10^5, 1 \le x \le n, 1 \le v,a_i \le 10^9

对于所有测试数据，保证在所有 Q 次操作中，至多有 5000 次操作属于类型一。

各测试点的附加限制及分值如下表所示。

样例解释

【样例解释 #1】

在修改操作之前，假设 H 老师进行了一次插入排序，则原序列的三个元素在排序结束后所处的位置分别是 3,2,1。

在修改操作之后，假设 H 老师进行了一次插入排序，则原序列的三个元素在排序结束后所处的位置分别是 3,1,2。

注意虽然此时 a_2 = a_3，但是我们不能将其视为相同的元素。

题解

#pragma GCC optimize(3, "Ofast", "inline")
#include <iostream>
using namespace std;

struct element{
    int val;
    int si;
};

int main(){ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);

    int n, q;
    cin >> n >> q;

    element *a = new element[n];

    for(int i=0;i<n;i++) cin >> a[i].val;

    for(int i=0;i<n;i++){
        int s=0;
        for(int j=0;j<i;j++)
            if(a[j].val <= a[i].val)
                s++;
        for(int j=i+1;j<n;j++)
            if(a[j].val < a[i].val)
                s++;
        a[i].si = s;
    }

    while(q--){
        int t;
        cin >> t;
        if(t==1){
            int x, v;
            cin >> x >> v;
            x--;
            int s=0;
            for(int i=0;i<x;i++){if(a[i].val > v){if(a[i].val <= a[x].val) a[i].si++;
                }
                else{if(a[i].val > a[x].val) a[i].si--;
                    s++;
                }
            }
            for(int i=x+1;i<n;i++){if(a[i].val < v){if(a[i].val >= a[x].val) a[i].si--;
                    s++;
                }
                else{if(a[i].val < a[x].val) a[i].si++;
                }
            }
            a[x].val = v;
            a[x].si = s;
        }else{
            int x;
            cin >> x;
            x--;
            cout << a[x].si+1 << endl;
        }
    }

    return 0;
}

这题不管是现排序、通过规律获取排序后位置还是提前排序，每次修改上下冒泡都会超时

唯一的解决方案大概是提前计算好初始数组的排序后下标（此处可用 std::stable_sort() 配合指针数组优化）

然后每次编辑利用规律对排序后下标进行更新，这样的运算量是最少的。