[CSP-J 2023] 一元二次方程

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题目

众所周知，对于一元二次方程 ax^2+bx+c=0 (a\ne0)，可以用以下方式求实数解：
- 计算 \Delta=b^2-4ac
- 若 \Delta<0，则该一元二次方程无实数解。
- 否则 \Delta\ge0，此时该一元二次方程有两个实数解 x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt \Delta} {2a}。
其中，\sqrt \Delta 表示 \Delta 的算术平方根，即使得 s^2=\Delta 的唯一非负实数。
特别地，当 \Delta=0时，这两个实数解相等，当 \Delta>0 时，这两个实数解互异。

例如：
- x^2+x+1=0 无实数解，因为 \Delta=1^2-4\times1\times1=-3<0。
- x^2-2x+1=0 有两相等实数解 x_{1,2}=1。
- x^2-3x+2=0 有两互异实数解 x_1=1, x_2=2。

在题面描述中 a 和 b 的最大公因数使用 \gcd(a,b) 表示。例如 12 和 18 的最大公因数是 6，即 \gcd(12,18)=6。

现在给定一个一元二次方程的系数 a, b, c，其中 a, b, c 均为整数且 a\ne0。你需要判断 ax^2+bx+c=0 是否有实数解，并按要求格式输出。

在本题中输出有理数 v 时需遵循以下规则：
- 由有理数的定义，存在唯一的两个整数 p 和 q，满足 q>0, \gcd(p,q)=1 且 v=\frac p q。
- 若 q=1，则输出 {p}，否则输出{p}/{q}，其中{n} 代表整数 n 的值。；
- 例如：
- 当 v=-0.5 时，p 和 q 的值分别为 -1 和 2，则应输出-1/2；
- 当 v=0 时，p 和 q 的值分别为 0 和 1，则应输出0。

对方程的求解，分两种情况讨论：
1. 若方程无实数解，你应该输出NO

2. 否则方程有两解，记其中较大者为 x，则：
   1. 若 x 为有理数，则按有理数的格式输出 x。

   2. 否则根据上文公式，x 可以被 唯一的 表示为 x=q_1+q_2\sqrt r 的形式，其中：

   • $q_1, q_2$ 为有理数，且 $q_2>0$；
   • $r$ 为正整数且 $r>1$，且不存在正整数 $d>1$ 使 $d^2|r$（即 $r$ 不应是 $d^2$ 的倍数）。

   此时：

   1. 若 q_1\ne0，则按有理数的格式输出 q_1，并输出一个加号+；
   2. 否则跳过这一步输出。

   随后：

   1. 若 q_2=1，则输出sqrt({r})；
   2. 否则若 q_2 为整数，则输出{q2}*sqrt({r})；
   3. 否则若 q_3=\frac 1 {q_2} 为整数，则输出sqrt({r})/{q3}；
   4. 否则可以证明存在唯一整数 c, d 满足 c,d>1, \gcd(c,d)=1 且 q_2=\frac c d，此时输出{c}*sqrt({r})/{d}；

输入描述

输入的第一行包含两个正整数 T, M，分别表示方程数和系数的绝对值上限。

接下来 T 行，每行包含三个整数 a, b, c。

输出描述

输出 T 行，每行包含一个字符串，表示对应询问的答案，格式如题面所述。

每行输出的字符串中间不应包含任何空格。

样例

输入

9 1000
1 -1 0
-1 -1 -1
1 -2 1
1 5 4
4 4 1
1 0 -432
1 -3 1
2 -4 1
1 7 1

输出

1
NO
1
-1
-1/2
12*sqrt(3)
3/2+sqrt(5)/2
1+sqrt(2)/2
-7/2+3*sqrt(5)/2

数据范围

对于所有数据有：1\le5000，1\le M\le10^3，|a|,|b|,|c|\le M，a\ne 0。

其中：

• 特殊性质 A：保证 b=0；
• 特殊性质 B：保证 c=0；
• 特殊性质 C：如果方程有解，那么方程的两个解都是整数。

答案

#pragma GCC optimize(3)
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

long long t, m, a, b, c, d, p, q, g, sg, e, i;

long long gcd(long long x, long long y){if(y==0) return x;
    return gcd(y, x%y);
}

int main(){ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);

    cin >> t >> m;

    while(t--){
        cin >> a >> b >> c;
        d = b*b - 4*a*c;

        p=-b, q=2*a;
        if(d<0){cout << "NO" << endl;}
        else if(d==0){g = gcd(abs(p), abs(q));
            p/=g, q/=g;

            if(q<0) q=-q, p=-p;
            if(q==1) cout << p << endl;
            else cout << p << "/" << q << endl;
        }
        else{sg = (long long)sqrt(d);
            if(sg*sg==d){if(q>0) p+=sg;
                else p-=sg;
                g = gcd(abs(p), abs(q));
                p/=g, q/=g;
                if(q<0) q=-q, p=-p;
                if(q==1) cout << p << endl;
                else cout << p << "/" << q << endl;
            }
            else{g = gcd(abs(q), abs(p));
                p/=g, q/=g;
                if(q<0) p=-p, q=-q;
                if(p!=0){if(q==1) cout << p;
                    else cout << p << "/" << q;
                    cout << "+";
                }
                q = abs(2*a);
                p = 1;
                e = 0;
                for(i=sg;i>=1;i--) if(d%(i*i)==0) {
                    p *= i;
                    e = d / (i*i);
                    break;
                }
                g = gcd(abs(q), abs(p));
                p/=g, q/=g;
                if(q<0) p=-p, q=-q;
                if(p==q) cout << "sqrt(" << e << ")" << endl;
                else if(q==1) cout << p << "*sqrt(" << e << ")" << endl;
                else if(p==1) cout << "sqrt(" << e << ")/" << q << endl;
                else cout << p << "*sqrt(" << e << ")/" << q << endl;
            }
        }
    }
}

解析

题目讲的很清楚，就根据题目讲的硬判。